Seminario Doctorado de la Profa. Dra. Josefa Cánovas

SEMINARIO DEL DOCTORADO DE ESTADÍSTICA, OPTIMIZACIÓN Y MATEMÁTICA APLICADA. CURSO 2013-2014
Título: Análisis variacional y diferenciación generalizada aplicados a la optimización convexa
Ponente: Josefa Cánovas
Fecha: 22/05/2014   12:00h
Lugar: Sala de Seminarios, Edificio Torretamarit
Resumen:
El análisis variacional moderno puede considerarse fruto de la conjunción de la teoría clásica del cálculo de variaciones y la programación matemática y, actualmente, se ocupa, entre otros, del estudio de problemas  de optimización con restricciones, prestando especial atención al análisis de sensibilidad y la estabilidad con respecto a perturbaciones de los datos. Una característica destacable del análisis variacional moderno es la presencia de técnicas de optimización aplicadas a funciones no diferenciales en el sentido clásico, técnicas que pueden enmarcarse en la teoría general de multifunciones. Conceptos básicos dentro del estudio de multifunciones son las propiedades de tipo Lipschiz (equivalentemente, propiedades de regularidad métrica de las multifunciones inversas) y el concepto de coderivada.
El seminario introduce, para una multifunción general, las propiedades de pseudo-Lispchitz y calmness, y el concepto de coderivada, y presenta los primeros resultados básicos relativos a estas propiedades. En nuestro caso, estaremos interesados en el estudio de dos multifunciones de indudable relevancia en optimización,  las denominadas multifunción conjunto factible y multifunción conjunto óptimo; la multifunción conjunto factible (respectivamente, conjunto óptimo) asigna a cada problema de optimización su conjunto factible (respectivamente, su conjunto óptimo). En términos informales, las propiedades de tipo Lipschitz aplicadas, por ejemplo, a la multifunción conjunto óptimo nos informan acerca de si podemos acotar la variación de las soluciones óptimas en torno a una solución particular por un cierto múltiplo de la variación de los datos del problema. Mientras la propiedad de calmness evita los cambios bruscos en forma de crecimiento del conjunto de soluciones óptimas con respecto a perturbaciones de los datos, la propiedad de pseudo-Lispchitz previene los cambios bruscos en ambos sentidos, de crecimiento y de decrecimiento.
En una segunda etapa, nos centramos en el estudio de las propiedades anteriores aplicadas a las multifunciones conjunto factible y conjunto óptimo para problemas de optimización convexa, prestando especial atención al caso particular de problemas de optimización lineal. En este caso particular, se proporcionan, además, fórmulas operativas (en ocasiones en términos de cálculos matriciales básicos) para el cálculo de constantes de Lipschitz y de calmness, y en ocasiones se dan fórmulas exactas para las constantes de  Lipschitz y de calmness más ajustadas, denominadas, respectivamente, módulos de Lispchitz y de calmness.
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