Maximizando teselas circulares sobre fractales: un primer paso para la optimización sobre fractales

Abstract: Muchas estructuras civiles y recursos naturales están situados sobre fractales. Para conseguir una explotación racional de los mismos es necesaria una herramienta matemática que permita su optimización, pero la geometría “rugosa” de estas estructuras no permite el uso de las herramientas clásicas del cálculo para este fin. Por otro lado, nuestra propia tecnología impone restricciones, ya que el recurso a explotar suele quedar limitado al interior de un círculo, tal como puede observarse en el servicio dado por una antena de telecomunicaciones. Una solución, al problema planteado, es “teselar” fractales mediante círculos aleatorios disjuntos, con dos condiciones distintas: una con radio fijo y otra con masa fija dentro de los círculos, y encontrar las funciones de distribución. Obsérvese que para que las distribuciones sean útiles deben depender sólo de dos parámetros: uno intrínseco al problema (la dimensión fractal del fractal sobre el que se trabaja) y otro extrínseco (radio de los círculos o masa contenida por los mismos) que actúa como parámetro de control. Para este fin, estudiamos la evolución del número medio de teselas del recubrimiento en función del número de intentos, hasta llegar a la saturación. En el caso de teselas de radio fijo, encontramos la distribución de las masas en función de la dimensión fractal y del radio. En el caso de las teselas con masa fija, encontramos la distribución de los radios de las teselas en función de la dimensión fractal y de la masa.