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Seminario Doctorado del Prof. Dr. Juan Parra


21/05/2014
12:00

SEMINARIO DEL DOCTORADO DE ESTADÍSTICA, OPTIMIZACIÓN Y MATEMÁTICA APLICADA. CURSO 2013-2014

Título: Cuantificación de la estabilidad de problemas de optimización

Ponente: Juan Parra

Fecha: 21/05/2014   12:00h

Lugar: Sala de Seminarios, Edificio Torretamarit

Resumen:

En este seminario nos centraremos en problemas de optimización semiinfinita lineal, o hablando más específicamente, en problemas en los que se plantea minimizar una función objetivo lineal (de n variables reales) sujeta a una colección arbitraria (generalmente infinita) de restricciones lineales de desigualdad (inecuaciones lineales). Las soluciones factibles de tales problemas (es decir, soluciones del sistema de inecuaciones asociado) forman un conjunto convexo cerrado, y recíprocamente, cualquier convexo cerrado es solución de un sistema semiinfinito lineal. En el casos de sistemas homogéneos, el conjunto factible es un cono convexo cerrado. Asociado a cada sistema semiinfinito lineal, consideraremos tres conos convexos, llamados primer y segundo cono de momentos y cono característico. Por todo ello consideramos oportuno detenernos en algunos resultados preliminares sobre conjuntos y conos convexos que el alumno debe conocer; particularmente los teoremas de separación, estricta y no estricta, el Teorema de Carathéodory, el Teorema de Mazur y el Lema de Farkas generalizado, que permite describir las desigualdades lineales que son consecuencia de un sistema dado, esto es, que son satisfechas por todos los puntos factibles del sistema en cuestión (suponiendo que dicho conjunto factible sea no vacío).

En una siguiente etapa nos detendremos en ciertos subconjuntos notables del espacio paramétrico de todos los sistemas de inecuaciones lineales con el mismo conjunto de índices, T (cada elemento de T está asociado con una restricción del sistema). Caracterizaremos los sistemas consistentes, fuertemente inconsistentes, y débilmente inconsistentes. Introduciremos una norma extendida (que puede ser infinita) en el espacio paramétrico de dichos sistemas, la cual induce una distancia extendida que dota al espacio de la topología de la convergencia uniforme. Esta distancia nos permite introducir diferentes conceptos de estabilidad y buen planteamiento, tanto en el espacio paramétrico de los sistemas como en el los problemas de optimización (donde se incorpora como parámetro el vector de coeficientes de la función objetivo).

En lo concerniente a la estabilidad desde un punto de vista cualitativo, nos centraremos fundamentalmente en la semicontinuidad inferior en el sentido de Berge, comentando brevemente la semicontinuidad superior. Desde un punto de vista cuantitativo, analizaremos diferentes nociones de distancia al mal planteamiento. Como ilustración, supongamos que tenemos un sistema consistente (es decir, con alguna solución factible); entonces un concepto de distancia al mal planteamiento puede ser el tamaño de la menor perturbación (suponiendo que exista) que permite que el sistema perturbado sea inconsistente.

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15 mayo 2014